Matemáticos andaluces estudian algunos de los problemas del análisis armónico más difíciles

11 agosto 2008 at 6:22 PM 1 comentario


La formulación matemática de muchos problemas involucra la modelización de datos y el tratamiento de señales o imágenes como funciones. Estos informes pueden provenir de campos tan distintos como los encefalogramas en la medicina, las ondas sísmicas en geofísica, la heliosismología en la astrofísica, etc. Por ello, para entender un sistema de datos complicado, se debe descomponer de forma efectiva las magnitudes observadas y mantener aquellas que son básicas y organizarlas de una forma razonable.

Esto lo hace el Análisis Armónico o de Fourier que separa las incógnitas observadas, de un modo semejante a un prisma que descompone la luz blanca en un arco iris de colores o a una composición musical que describe la melodía en escalas y notas musicales del pentagrama. Por tanto, este método convierte lo complejo en partes más sencillas que pueden clasificarse o eliminarse a través de los procesos de limpieza de ruidos.

Los datos proporcionados por las distintas ciencias experimentales son separados a través de operadores del análisis matemático. Es decir, transforman los datos de entrada de un sistema físico en un dato de salida, por ejemplo, una ecuación la convierte en solución.

Convergencia de funciones

Carlos Pérez Moreno es el investigador principal del proyecto Análisis Real y Armónico y, según comenta, “una de las funciones más importantes es la transformada de Hilbert, que se utiliza mucho en la teoría de señales”. Con naturalidad, los sistemas tienden a converger, por esto la teoría de Hilbert “es un operador que surge de forma natural en los procesos de convergencia durante las series de Fourier, que permiten reconstruir la señal a partir de los datos obtenidos”. Así mismo, estos operadores representan un filtro que ‘limpia’ de ruido una imagen o una señal auditiva.

Con estos factores matemáticos, las incógnitas a estudiar se agrupan en ‘espacios de funciones’ caracterizadas por tener un peso y tamaño similar. De este modo se conocen sus diferencias y similitudes. “Así, se pueden medir los cambios que se producen cuando se aplica una transformación, y determinar, por ejemplo, cuántos procedimientos iterativos hacen faltas para resolver la ecuación” explica Pérez Moreno.

Nuevas líneas de investigación

En principio, las aplicaciones que los miembros del grupo esperan obtener son de carácter teórico, aunque se aproximarán a las áreas más prácticas y experimentales. De este modo, gracias a la buena conexión que disponen con universidades lideres de América y Europa, intentarán que sus resultados puedan ser publicados en revistas internacionales de gran impacto.

El profesor Carlos Pérez pertenece a la Hispalense de Sevilla sin embargo, el resto de su equipo está situado en la Universidad de Málaga. La unión de estas universidades andaluzas “ha ampliado nuevas líneas de investigación y ha enriquecido las perspectivas de nuestro grupo de trabajo”. Así mismo, los científicos que integran este proyecto están contentos porque “está atrayendo a investigadores jóvenes de otros países que se están incorporando a este estudio, gracias a la posibilidad que hay para contratarlos, labor que se debe seguir potenciando desde la Junta de Andalucía”, comenta Pérez Moreno.

Temas espinosos

El origen del Análisis Armónico viene ligado a las ecuaciones básicas que rigen algunos fenómenos de la naturaleza, tales como el calor y el sonido. Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales vienen descritas a través de las series de Fourier, que diferencian una función ‘mala’ cuando dispone de alguna irregularidad en términos armónicos. Generalizaciones de estas ideas permiten estudiar fenómenos mucho mas complejos, como los que se derivan de la Mecánica Cuántica, ligados a la ecuación de Schrödinger. 

Por ello el equipo de investigación de Carlos Pérez plantea resolver algunos de los problemas más difíciles e interesantes que se han ido generando en este área, haciendo hincapié en su relación con la Teoría de Pesos, asociada a los operadores integrales singulares de la transformada de Hilbert.

Los pesos son funciones que suelen estar exentos de continuidad cuando en un medio físico la masa que se asigna a cada punto deja de ser uniforme. El estudio de las Integrales Singulares en este nuevo contexto es muy importante en teorías más complejas donde pueden comparecer diversos condicionantes.

Más información:

http://www.andaluciainvestiga.com/espanol/noticias/5/6261.asp

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Más sobre la autora

Para quien le gusten mis trabajos, simplemente decir que no soy periodista sino geóloga por la Universidad de Granada. En la actualidad trabajo en la OTRI de la Universidad de Málaga. Este blog fue creado con motivo del disfrute de una beca en el Programa de Divulgación Científica de Andalucía de la Junta de Andalucía, lo cual me obligaba a desempeñar esta labor periodística. ¡¡¡Gracias por vuestra visita!!!

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